Clasa a VI-a lecția 24 - 29 mar 2016
Tema - rezolvări
- Prieteni de aur dată la olimpiada pe sector 2013, clasa a 6-a
- Miny dată la olimpiada pe şcoala 2014, clasa a 7a
- Prieteni1 dată la ONI 2005, clasa a 6-a
Rezolvări aici [1]
Lecție
Calculul multiplicității unui număr prim în n!
Matematicianul Adrien-Marie Legendre a descoperit că multiplicitatea (exponentul) unui număr prim p care apare în descompunerea în factori primi a lui n! poate fi exprimată exact ca:
Acest fapt se bazează pe numărarea factorilor p ai întregilor de la 1 la n. Numărul multiplilor lui p în numerele de la 1 la n este ; dar această formulă numără numerele cu doi factori p o singură dată. De aceea trebuie să mai numărăm încă factori ai lui p. În mod similar pentru trei, patru, cinci factori, pînă la infinit. Însă suma este finită deoarece p i este mai mic sau egal cu n într-un număr finit de valori ale lui i, drept care funcția parte întreagă va fi zero pentru toate celelalte valori.
Cînd scriem programul pentru calculul exponentului ne vom opri la acel i pentru care pi > n.
Calculul multiplicității unui număr prim la o putere în n!
Este simplu de demonstrat că dacă avem un număr prim p la o putere k atunci multiplicitatea lui pk în n! este
Calculul multiplicității unui număr oarecare în n!
Este simplu să arătăm că dacă avem un număr a a cărui descompunere în factori primi este
- a = p1k1 • p2k2 • … • pmkm
atunci multiplicitatea (exponentul) lui a în n! este
sau
Temă
- factk .campion 2004
- fact ONI 2006 clasa a 9a
- trei divizori
Rezolvări aici: [2]