Clasa a VI-a lecția 24 - 29 mar 2016

From Algopedia
Jump to navigationJump to search

Tema - rezolvări

Tema 19 clasa a 6a

  • Prieteni de aur dată la olimpiada pe sector 2013, clasa a 6-a
  • Miny dată la olimpiada pe şcoala 2014, clasa a 7a
  • Prieteni1 dată la ONI 2005, clasa a 6-a

Rezolvări aici [1]

Lecție

Calculul multiplicității unui număr prim în n!

Matematicianul Adrien-Marie Legendre a descoperit că multiplicitatea (exponentul) unui număr prim p care apare în descompunerea în factori primi a lui n! poate fi exprimată exact ca:

Acest fapt se bazează pe numărarea factorilor p ai întregilor de la 1 la n. Numărul multiplilor lui p în numerele de la 1 la n este ; dar această formulă numără numerele cu doi factori p o singură dată. De aceea trebuie să mai numărăm încă factori ai lui p. În mod similar pentru trei, patru, cinci factori, pînă la infinit. Însă suma este finită deoarece p i este mai mic sau egal cu n într-un număr finit de valori ale lui i, drept care funcția parte întreagă va fi zero pentru toate celelalte valori.

Cînd scriem programul pentru calculul exponentului ne vom opri la acel i pentru care pi > n.

Calculul multiplicității unui număr prim la o putere în n!

Este simplu de demonstrat că dacă avem un număr prim p la o putere k atunci multiplicitatea lui pk în n! este

Calculul multiplicității unui număr oarecare în n!

Este simplu să arătăm că dacă avem un număr a a cărui descompunere în factori primi este

a = p1k1 • p2k2 • … • pmkm

atunci multiplicitatea (exponentul) lui a în n! este

sau

Temă

Tema 23 clasa a 6a


Rezolvări aici: [2]