Note de curs, clasele 11-12, 22 martie 2013

From Algopedia
Jump to: navigation, search

Introducere în probabilități

Am mers un pic repejor cu teoria, căci se studiază în clasa a 11-a (?). Am făcut multe probleme pentru aplicații

  • puzzle: 10 oameni stau unul în spatele altuia. Fiecăruia îi așezăm pe cap un fes roșu sau albastru, ales la întâmplare. Fiecare om vede fesurile celui din față, dar nu și pe al lui. Fiecare om, din spate în față, este invitat să-și ghicească culoarea fesului. Pot ei concepe o strategie prin care să-și ghicească culoarea cu probabilitate mai mare de 50%?
    • răspuns: nouă pot afla exact, iar al zecelea cu probabilitate de 50%
  • puzzle: fie trei urne identice. Prima conține două bile albe, a doua două bile negre, iar a treia o bilă albă și una neagră. Aleg o urnă la întâmplare și extrag o bilă la întâmplare. Dacă bila este albă, care este probabilitatea ca și cealaltă bilă din aceeași urnă să fie tot albă?
    • răspuns: 2/3
  • puzzle: trag două cărți la întâmplare dintr-un pachet de joc (52 de cărți). Care este șansa ca a doua carte să fie strict mai mare decât prima?
    • răspuns: 8/17. Există o soluție elegantă, care nu analizează toate cele C(52, 2) combinații.
  • teorie: probabilitatea exprimată ca raport între numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri totale. Spațiul total (Ω). Exemple pe zaruri
  • puzzle: Un prieten îmi propune următorul joc: arunc cu trei zaruri. Dacă ies trei șesari, primesc $5. Dacă ies doi șesari, primesc $3. Dacă iese un singur șesar, primesc $1. Dacă nu iese niciun șesar, pierd $1. Îmi convine să joc acest joc?
    • răspuns: valoarea așteptată este exact 0, deci îmi este indiferent.
  • teorie: valoare așteptată
  • teorie: distribuții. Exemplu pe suma a două zaruri. Distribuții reale (integrala este 1) prin generalizarea diagramelor Euler-Venn.
  • puzzle: două vrăjitoare merg în fiecare noapte la o cafenea. Fiecare din ele ajunge cândva între 12:00 și 1:00 și stă exact 15 minute. Care este șansa ca, într-o noapte oarecare, ele să se întâlnească?
    • răspuns: 7/16. Cel mai simplu este cu o soluție grafică (pe două axe, timpii de ajungere ai celor două vrăjitoare).
  • puzzle: stau în afara Pentagonului (care este un pentagon regulat). Se știe că stau suficient de departe încât să văd mai mult de o latură. Care sunt probabilitățile să văd două laturi, respectiv trei laturi?
    • răspuns: 50%
  • puzzle: părinții mei și cu mine avem ochi căprui. Fratele meu și soția mea au ochi albaștri. (Presupunem că culoarea ochilor este dată de o singură genă, iar gena de ochi căprui este dominantă față de cea de ochi albaștri). Ce șansă are fiul meu să se nască cu ochi albaștri?
    • răspuns: 1/3
  • teorie: probabilități condiționate. Independență: A și B sunt independente dacă P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) sau, echivalent, P(A|B)=P(A) sau P(B|A)=P(B)
  • puzzle: Ana și Bogdan dau cu câte un zar până când cele două numere diferă. Cel cu numărul mai mare câștigă. Dacă Ana tocmai a câștigat, care este șansa să fi dat un 4?
    • răspuns: 3/15
  • puzzle: la două aruncări succesive cu un zar, sunt următoarele evenimente independente?
    • a) A = dau 6 la prima aruncare; B = dau 6 la a doua aruncare;
    • b) A = dau 6 la prima aruncare; B = suma celor două aruncări este 11;
    • c) A = dau 6 la prima aruncare; B = suma celor două aruncări este 7.
    • răspuns: da, nu, respectiv da. Pentru (c), explicația intuitivă este că, orice dau la prima aruncare, am exact o variantă din șase la a doua aruncare pentru ca suma să fie 7.
  • teorie: legea probabilității totale: dacă \Omega =A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}, atunci P(B)=\sum _{{i=1}}^{{n}}P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})
    • demonstrație: din teoria mulțimilor, B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup ...\cup (B\cap A_{n})
  • puzzle: Fie două urne identice. Prima conține trei bile albe și una neagră, iar a doua conține trei bile negre și una albă. Aleg o urnă, extrag o bilă și constat că este neagră. O pun la loc în aceeași urnă, amestec bine și extrag altă bilă din aceeași urnă. Care este probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie neagră?
    • răspuns: 10/16
  • teorema lui Bayes: P(A_{1}|B)={\frac  {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B|A_{1})P(A_{1})+...+P(B|A_{n})P(A_{n})}}
    • demonstrație: din definiția probabilității condiționate, P(A_{1}\cap B)=P(B|A_{1})P(A_{1})=P(A_{1}|B)P(B). Apoi exprimăm P(A_{1}|B) și aplicăm legea probabilității totale.
  • puzzle: O monedă fabricată la întâmplare poate avea pe cele două fețe oricare din combinațiile ban-stemă, stemă-ban, ban-ban sau stemă-stemă, cu probabilități egale. Un prieten aruncă moneda de 10 ori și de fiecare dată iese banul (dar nu mă lasă să văd și cealaltă față). Care este probabilitatea ca moneda să fie ban-ban?
    • răspuns: 512 / 513

Următoarele puzzle-uri sunt punctul unde voiam să ajungem și fac trecerea spre clasificarea bayesiană și detectarea spamului:

  • false positive: la testarea pentru o boală și în alte situații, măsoară probabilitatea ca un subiect să fie depistat ca bolnav când el este de fapt sănătos.
  • false negative: măsoară probabilitatea ca un subiect să fie depistat ca sănătos când el este de fapt bolnav.
  • puzzle: 0,5% dintr-o populație suferă de o boală. Se inventează un test cu rata de false positive de 3%, rata de false negative de 2%. Joe își face testul. Care este probabilitatea ca Joe să fie depistat pozitiv? Știind că Joe a fost depistat pozitiv, care este probabilitatea să fie bolnav?
  • răspunsuri: 3.475%, respectiv 14.1%, cu aplicarea directă a teoremei lui Bayes

Acest ultim puzzle arată importanța prevalenței unei boli asupra acurateții testului. Cu cât boala este mai rară, cu atât rezultatul testului are șanse mai mari să fie greșit.

  • puzzle: testăm o persoană dintr-o populație pentru prezența unei boli. Testul are rata de false positive de 0,04% și rata de false negative de 0%. Dacă rezultatul testului este pozitiv, care este probabilitatea ca persoana să aibă boala în următoarele două cazuri:
    • a) 2% din populație are boala;
    • b) 0,01% din populație are boala.
    • răspuns: (a) 98%; (b) 20%.

Teme

Am dat aceste teme prin email. Nu sunt obligatorii, sunt doar problemuțe pentru fixarea noțiunilor de probabilitate.

  • Să se determine distribuția probabilistică a variabilei Z=\max(X,Y), unde X și Y sunt variabile aleatoare uniform distribuite între 0 și 1. Răspunsul trebuie formulat ca P(Z<=v)=... funcție de v.
  • Aceeași întrebare pentru variabila Z=X+Y (suma a două numere aleatoare între 0 și 1).
  • Sunt proprietarul unei plăcintării care produce plăcinte cu afine sau cu mere. Zilnic îmi vin zece clienți care comandă, cu probabilitate egală, câte o plăcintă cu afine sau cu mere. Noaptea fac aprovizionarea, dar furnizorul îmi livrează neapărat cantități egale din cele două plăcinte. Câte trebuie să cumpăr ca să am 95% probabilitate să-mi pot servi clienții a doua zi?
  • Câte soluții naturale are ecuația a+b+c=20?
  • Care este coeficientul lui a^{{10}}b^{{3}}c^{{7}} din dezvoltarea lui (a+b+c)^{{20}}?
  • Jucăm un joc cu un zar, pe care îl aruncăm pe rând. Dacă eu arunc 4, câștig. Altfel, dacă tu dai 5, câștigi. Repetăm până când cineva câștigă. Eu încep. Ce probabilitate am să câștig?
  • Arunc în mod repetat o pereche de zaruri până când suma are valoarea 5 sau 7. Dacă suma este 5 câștig, altfel pierd. Care este probabilitatea să câștig?
  • Fie două urne identice. Urna A conține 10 bile numerotate de la 1 la 10, iar urna B conține 100 de bile numerotate de la 1 la 100. Aleg o urnă la întâmplare și extrag o bilă. Constat că are numărul 9. Care este probabilitatea să fi extras din urna A?
  • Dar dacă fac 5 extrageri (cu punerea la loc a bilei după fiecare extragere) și, la fiecare dintre ele, bila are un număr între 1 și 10?